思路与算法

把圆环复制一遍，枚举切开起点。对长n的一段线性序列做恰m段划分，分别维护前i个数分g段的最小/最大乘积。枚举最后一段起点j，段值为规范化到0..9的前缀差模10，乘上一层值。所有切开起点中再取全局极值。

正确性说明

任意圆环m段划分都可以从某条切边展开，枚举起点不会遗漏。固定展开后，最后一段划界j唯一，前部必须是g-1个非空段。每段余数非负，乘同一个段值保持前部最小与最大次序，故两套极值转移分别准确。初态空序列0段乘积为1，保证首段值直接进入。

复杂度

O(mn³)时间、O(mn)空间，含每个起点的前缀和、状态表初始化；n≤50,m≤9。

易错点

负数求模必须加10规范化。段不能为空；零余数合法，最小乘积常为0。最大值≤9^9，使用64位。

参考代码（C++11）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> a(2 * n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        a[i + n] = a[i];
    }
    long long lo = 1LL << 60, hi = 0;
    for (int start = 0; start < n; start++) {
        vector<int> pre(n + 1);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            pre[i + 1] = pre[i] + a[start + i];
        vector<vector<long long>> mn(m + 1, vector<long long>(n + 1, 1LL << 60)),
            mx(m + 1, vector<long long>(n + 1, -1));
        mn[0][0] = mx[0][0] = 1;
        for (int g = 1; g <= m; g++)
            for (int i = g; i <= n; i++)
                for (int j = g - 1; j < i; j++)
                    if (mx[g - 1][j] >= 0) {
                        int v = ((pre[i] - pre[j]) % 10 + 10) % 10;
                        mn[g][i] = min(mn[g][i], mn[g - 1][j] * v);
                        mx[g][i] = max(mx[g][i], mx[g - 1][j] * v);
                    }
        lo = min(lo, mn[m][n]);
        hi = max(hi, mx[m][n]);
    }
    cout << lo << "\n" << hi << "\n";
}